Примеры с решением задач по тригонометрии от Лиги математиков

Примеры решения задач С1 и С2 с использованием тригонометрии.

Задача 1. а) Решите уравнение:

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку:

 Решение. а)Сначала заменим sin2x по формуле sin2x=2sinxcosx:

Теперь вынесем общие множители:

Видно, что можно вынести общую скобку (cosx-2):

Получили распадающееся уравнение, при котором каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Первая скобка (cosx-2=0) не имеет решений, т.к. |cosx| не может быть больше 1, значит переходим к решению второй скобки:

Разделим каждый член уравнения на cosx и получим:

б) Отрезку  принадлежат корни  и  - это видно из окружности:

Ответ: а)  где , б)  и 

Задачу №1 подготовили Кукина Людмила и Ульянова Елена

Задача 2.

В комнате, имеющей форму куба, стоит телевизор, лежащий в плоскости EFF1. Найдите угол между окном, лежащим в плоскости DCC1, и телевизором, если известно, что E и F - середины сторон AB и CD соответственно.

Решение. Введем Декартову систему координат с началом в точке A и получим следующие координаты точек: D(1;0;0), C(1;1;0), D1(1;0;1), C1(1;1;1), E(0;0,5;0), F(0,5;1;0), E1(0;0,5;1), F1(0,5;1;1).

По рисунку видно, что плоскости пересекаются в точке E, значит можно искать угол между векторами AB и EF.

Координаты векторов найдем по формуле: 

Получим следующие координаты векторов: AB(0;1) и EF(0;0,5;0,5).

Теперь применим формулу косинуса между двумя векторами: 

Получим следующее выражение:

Значит угол между плоскостью окна и плоскостью телевизора: 45 градусов.

Ответ: 45 градусов.

Задача №2 была подготовлена Ахметзяновым Сергеем и Ленковским Игорем.

При создании блога были использованы ресурсы с сайтов festival.1september.ru и matematika-c1.ru